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二.例题讲解:
【例1】已知集合M={xx=m ,m∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z},则M,N,P满足关系( )
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{xx= ,m∈Z};对于集合N:{xx= ,n∈Z}
对于集合P:{xx= ,p∈Z},由于3(n-1) 1和3p 1都表示被3除余1的数,而6m 1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
当 时,2k 1是奇数,k 2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为( )
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={xx∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为( )
A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
【例3】已知集合A={xx2 px q=0},B={xx2?4x r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1 r=0,r=3.
∴B={xx2?4x r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2 px q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合A={xx2 bx c=0},B={xx2 mx 6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22 m?2 6=0,m=-5
∴B={xx2-5x 6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2 2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x 1)(x 2)>0},集合B满足:A∪B={xx>-2},且A∩B={x1<x≤5},试求集合B。
分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
解答:A={x-2<x<-1或x>1}。由A∩B={x1
综合以上各式有B={x-1≤x≤5}
变式1:若A={xx3 2x2-8x>0},B={xx2 ax b≤0},已知A∪B={xx>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。
解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x 2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x 2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
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