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设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠?,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数。
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),
从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
呵呵,我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂,那就举个例子吧,耐心看哦!
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u,得f'[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
一开始会做不好,老是要对照公式和例子,
但只要多练练,并且熟记公式,最重要的是记住一两个例子,多练习就会了。
复合函数求导法则证法一:先证明个引理
f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)
引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点选自.一对一辅导 u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu
但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
则lim(Δx->0)α=0
最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
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