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填空题

11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根;第n个图形中，火柴杆有________根.

[答案]13,3n 1

[解析]第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根......猜想第n个图形有3n 1根.

12.从1=12,2 3 4=32,3 4 5 6 7=52中，可得一般规律是__________________.

[答案]n (n 1) (n 2) … (3n-2)=(2n-1)2

[解析]第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n-1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n-1个数相加，故第n个式子为：

n (n 1) (n 2) … {n [(2n-1)-1]}

=(2n-1)2，

即n (n 1) (n 2) … (3n-2)=(2n-1)2.

13.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________.

[答案]S=4(n-1)(n≥2)

[解析]每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时，共有S=8个;每条边上有4个圆圈时，共有S=12个.可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S=4(n-1)(n≥2).

14.(2009·浙江理，15)观察下列等式：

C C=23-2，

C C C=27 23，

C C C C=211-25，

C C C C C=215 27，

......

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于n∈N*，C C C … C=__________________.

[答案]24n-1 (-1)n22n-1

[解析]本小题主要考查归纳推理的能力

等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an=4n-1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn=2n-1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端=24n-1 (-1)n22n-1.

三、解答题

15.在△ABC中，不等式  ≥成立，

在四边形ABCD中，不等式   ≥成立，

在五边形ABCDE中，不等式    ≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立?

[解析]根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3).

∴在n边形A1A2…An中：  … ≥(n≥3).

16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.

平面区域顶点数边数区域数

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?

(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?

[解析]各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：

平面区域顶点数边数区域数关系

(1)3323 2-3=2

(2)81268 6-12=2

(3)6956 5-9=2

(4)1015710 7-15=2

结论VEFV F-E=2

推广999E999E=999 999-2

=1996

其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V F-E=2.

故可猜想此平面图可能有1996条边.

17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式.

[解析]b1==，

b2==.

b3=

=，

∴归纳得bn=.

18.设f(n)=n2 n 41，n∈N ，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.

[解析]f(1)=12 1 41=43，f(2)=22 2 41=47，

f(3)=32 3 41=53，f(4)=42 4 41=61，

f(5)=52 5 41=71，f(6)=62 6 41=83，

f(7)=72 7 41=97，f(8)=82 8 41=113，

f(9)=92 9 41=131，f(10)=102 10 41=151.

由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.

即：当n取任何非负整数时f(n)=n2 n 41的值为质数.

但是当n=40时，f(40)=402 40 41=1681为合数.

所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确.