以下是给大家分享的一些高考备考冲刺阶段的小技巧:高考来临前,每个人的个人情况不同,导致了每个人的优势学科和弱势学科,所以我们要根据自己的实际情况,学会扬长补短。这点是非常重要的一点,也是高考里拉开总分差距的一个重要原因之一。所以在自己的优势学科上,一定要发挥出自己的全部潜力,将自己的优势学科发挥到极致;而在自己的弱势学科上,要尽可能地去恶补,保证自己的弱势学科不会拖自己的后腿甚至是成为自己的优势学科,这才是理想的状态。
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1.用数学归纳法证明不等式1 … >(nN*)成立,其初始值至少应取()
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:选B 左边=1 … ==2-,代入验证可知n的最小值是8.
2.用数学归纳法证明“1 a a2 … an 1=(a≠1)”,在验证n=1时,左端计算所得的项为()
A.1 B.1 aC.1 a a2 D.1 a a2 a3
解析:选C 等式的左端为1 a a2 … an 1,当n=1时,左端=1 a a2.
3.利用数学归纳法证明不等式1 … 的过程中,由n=k推导n=k 1时,不等式的左边增加的式子是____________.
解析:不等式的左边增加的式子是 -=,故填.
答案:
8.已知数列{an}满足a1=1,an 1=an 1(nN*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an=________.
解析:a1=1,a2=a1 1=,a3=a2 1=,a4=a3 1=.猜想an=.
答案:
9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________________(用n表示).
解析:f(3)=2,f(4)=f(3) 3=2 3=5,
f(n)=f(3) 3 4 … (n-1)=2 3 4 … (n-1)
=(n 1)(n-2).
答案:5 (n 1)(n-2)
10.用数学归纳法证明下面的等式:
12-22 32-42 … (-1)n-1·n2=(-1)n-1.
证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0·=1,原等式成立.
(2)假设n=k(kN*,k≥1)时,等式成立,
即有12-22 32-42 … (-1)k-1·k2=(-1)k-1.
那么,当n=k 1时,则有12-22 32-42 … (-1)k-1·k2 (-1)k·(k 1)2
=(-1)k-1 (-1)k·(k 1)2=(-1)k·[-k 2(k 1)]=(-1)k.
n=k 1时,等式也成立,
由(1)(2)知对任意nN*,有12-22 32-42 … (-1)n-1·n2=(-1)n-1.
11.设数列{an}满足a1=3,an 1=a-2nan 2,n=1,2,3,….
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.
解:(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n 1.
(2)Sn==n2 2n,使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.
下证:n≥6(nN*)时都有2n>n2 2n.
n=6时,26>62 2×6,即64>48成立;
假设n=k(k≥6,kN*)时,2k>k2 2k成立,那么2k 1=2·2k>2(k2 2k)=k2 2k k2 2k>k2 2k 3 2k=(k 1)2 2(k 1),即n=k 1时,不等式成立;
由可得,对于任意的n≥6(nN*)都有2n>n2 2n成立.
12.(2015·舟山模拟)若不等式 … >对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明结论.
解:当n=1时, >,即>,所以a<26.
而a是正整数,所以取a=25,下面用数学归纳法证明
… >.
(1)当n=1时,已证得不等式成立.
(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,
即 … >.
则当n=k 1时,有 …
= … -
> .
因为 -=-
==>0,
所以当n=k 1时不等式也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有
… >,所以a的最大值等于25.
[冲击名校]
已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当nN*时,an 2=an 1 an.求证:数列{an}的第4m 1项(mN*)能被3整除.
证明:(1)当m=1时,a4m 1=a5=a4 a3=(a3 a2) (a2 a1)=(a2 a1) 2a2 a1=3a2 2a1=3 0=3.即当m=1时,第4m 1项能被3整除.故命题成立.
(2)假设当m=k时,a4k 1能被3整除,则当m=k 1时,
a4(k 1) 1=a4k 5=a4k 4 a4k 3=2a4k 3 a4k 2=2(a4k 2 a4k 1) a4k 2=3a4k 2 2a4k 1.
显然,3a4k 2能被3整除,又由假设知a4k 1能被3整除.所以3a4k 2 2a4k 1能被3整除.
即当m=k 1时,a4(k 1) 1也能被3整除.命题也成立.
由(1)和(2)知,对于任意nN*,数列{an}中的第4m 1项能被3整除.
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