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一、函数的解题的四种思维定势
第一句话:在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
第二句话:在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
第三句话:在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
第四句话:对定限或变限积分,若被积函数或其主要部分为复合函数,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
二、概率解题的九种思维定势
第一句话:如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互*时,用对立事件的概率公式
第二句话:若给出的试验可分解成(0-1)的n重*重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式
第三句话:若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组
第四句话:若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0,1)来处理有关问题。
第五句话:求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而的求法类似。
第六句话:欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率,应该马上联想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。
第七句话:涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作(0-1)分解。即令
第八句话:凡求解各概率分布已知的若干个*随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题,马上联想到用中心极限定理处理。
第九句话:若为总体X的一组简单随机样本,则凡是涉及到统计量的分布问题,一般联想到用卡方分布,t分布和F分布的定义进行讨论。
三、线性代数解题的八种思维定势
第一句话:题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
第二句话:若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
第三句话:若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解因子aA+bE再说。
第四句话:若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关,先考虑用定义再说。
第五句话:若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理
第六句话:若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。
第七句话:若已知A的特征向量ξ0,则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下再说。
第八句话:若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。
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